∫∫(x^2-y^2)dydz+(y^2-z^2)dzdx+(z^2-x^2)dxdy利用高斯公式怎么做啊？不会了，高手进帮助下

Question

S是上半椭球x^2/a^2+y^2/b^2+z^2=1（z>=0）取上侧，，，，，高斯公式做完是∫∫∫（x+y+z）dv，之后不会做了

Answer 1

积分区域关于xoz面和yoz面均对称，因此x，y这两个奇函数积分为0，
原积分=∫∫∫ z dv
用截面法计算
=∫[0→1] z dz∫∫ 1 dxdy 其中二重积分的积分区域是截面：x²/a²+y²/b²≤1-z²
被积函数为1，积分结果是椭圆的面积
x²/a²+y²/b²≤1-z²的面积是：πab(1-z²)
=πab∫[0→1] z(1-z²) dz
=πab∫[0→1] (z-z³) dz
=πab[(1/2)z²-(1/4)z^4] |[0→1]
=πab/4

不过提醒一下，本题要注意，原题中椭球面并不封闭，因此使用Gauss公式前要补个平面，所以最后要减去所补的平面。

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