微积分题当n充分大时,证明(1+n^2)^(1/n)[(1+n^-2)^1/2-1)<1/n^2

Question

如题所述

Answer 1

就是要证明(1+n^2)^(1/n)*(1/n^2)/[(1+n^(-2))^(1/2)+1]<1/n^2；
这个只要证明：(1+n^2)^(1/n)/[(1+n^(-2))^(1/2)+1]<1或者：(1+n^2)^(1/n)<(1+n^(-2))^(1/2)+1；这个当n充分大时是成立的，因为不等式左边的极限是1，右边的极限是2。追问

左边极限怎么求呢

追答

Yn=(1+n^2)^(1/n); 取对数lnYn=(ln(1+n^2))/n，对于（ln(1+x^2))/x当x趋于无穷时使用洛比达法则求极限

Answer 2

(1+n^-2）=n^2+1/ n^2

(1+n^-2)^1/2=根号下n^2+1/ n^2=根号下（n^2+1）再除以n =根号下n+1/n

(1+n^-2)^1/2-1=根号下n+1/n再－1
(1/n)[(1+n^-2)^1/2-1)=n^2+1-1/n=n^2-1/n+1大于1

1+n^2也大于1，而1/n^2小于1

故(1+n^2)^(1/n)[(1+n^-2)^1/2-1)<1/n^2成立