矩阵相乘的行列式等于行列式相乘吗

Question

如题所述

Answer 1

矩阵相乘的行列式与行列式相乘并不完全相同。

我们需要了解矩阵的行列式和矩阵相乘的概念。

矩阵的行列式：对于一个m×n矩阵A，其行列式表示为detA，它是一个m×m矩阵。行列式计算公式为：

detA = a11*a22 - a12*a21。

矩阵相乘：对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘积是一个m×p矩阵，表示为C= A*B。矩阵乘法满足交换律和结合律。

现在我们来分析矩阵相乘的行列式与行列式相乘的关系：

假设矩阵A和B的行列式分别为detA和detB，根据矩阵乘法的定义，矩阵C= A*B的行列式可以表示为：

detC=detA* detB。

这个等式说明，矩阵相乘的行列式确实等于行列式相乘。但是，这个结论仅适用于方阵（即行数等于列数的矩阵）的情况。对于非方阵，行列式计算可能涉及laplace展开，此时矩阵相乘的行列式不再满足上述关系。

矩阵相乘的行列式：

两个矩阵相乘后得到的矩阵的行列式值。

我们需要了解矩阵相乘的规则。两个矩阵A和B相乘，要求A的列数等于B的行数。如果满足这个条件，我们可以将矩阵A和矩阵B相乘。

具体地，假设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，那么A和B相乘的结果C是一个m×p矩阵。C中的每一个元素c_ij是A中的对应行元素与B中的对应列元素的乘积之和。

在数学上，这可以表示为：c_ij=Σa_ik * b_kj，其中k是从1到n的整数。

对于行列式，矩阵的行列式是其值的一个函数。具体地，对于一个方阵A，其行列式|A|是所有可能的行列式值的总和。

对于两个矩阵A和B相乘，其行列式的值是：|AB|=|A||B|。

这是因为矩阵相乘的行列式值等于相乘的两个矩阵的行列式值的乘积。