微积分问题

Question

这个式子中F(ax+b)的n阶导数用什么式子表示，是下面的那两个吗？还是都不是？另外那个Fn(ax+b)中文表示什么？
Fn(ax+b)中文表示是什么？

Answer 1

答：一般是f右上角加上括号n，如下图所示：

追问

Fn(ax+b)中文表示什么？

追答

你的等式右边的fn(ax+b)表示f(ax+b)的n次方

表示n阶导数的也可以用你图中右边那个

追问

怎么可能是F（ax+b）的n次方，那也是表示导数的方法啊

追答

不行，多少阶导数的时候都是必须加上括号的，没有括号的表示多少次方，不然会乱套。

从等式里面a^n表示a的n次方就知道，没有括号的上标n是表示n次方

追问

哦，忘了加括号了，那如果f(n)(ax b)也可以表示的f(ax b的n阶导数，那上面的等式不是矛盾了吗？

追答

不会，复合函数求导，对f求导后还需对ax b求导得a后相乘。(n)在前面和在后面的区别：类似一个运算法则，在前对f(g(x))求导f(x)即可，不管g(x)；在后面就要把先运算f(g(x))再对x求导，也就是谁先靠近f就先运算谁。因此你图片中等式右边f后的n加上括号后就对了。

Answer 2

楼上都。。。
先声明，你的两种表示方法不一样。
第二种是正确的选择
即
[f(ax+b)]^(n)表示的是先求f(ax+b),再求n阶导，表示是f(ax+b)对x的n阶导数
而f^(n)(ax+b)表示的是先求f^(n)(x),然后把x替换成ax+b
两者一般不等同

举例：
a=2,b=0,f(x)=x^2
[f(2x)]''=[(2x)^2]''=[4x^2]''=8
f''(x)=2
f''(2x)=2不等于[f(2x)]''

Answer 3

[f(ax+b)]'=f'(ax+b)*(ax+b)'=af'(ax+b)
[f(ax+b)]''=[af'(ax+b)]'=a²f''(ax+b)
以此类推
[f(ax+b)]的n阶导数=a^n*f(n)(ax+b)
你右下的表示也对。