用数列极限的∑-n定义证明当n趋近于无穷时n的根号n次方等于1

Question

如题所述

Answer 1

设n√n=1+an

显然，an>0
那么，
n=（1+an）^n
二项式展开，

n=1+n×an+n(n-1)/2×an^2+...
注意到，an>0，C(n,i)>0
那么
n=1+n×an+n(n-1)/2×an^2+...>n(n-1)/2×an^2
也就是说，
n>n(n-1)/2×an^2
那么
an^2<2/n-1
设2/n-1<ε^2，ε为任意正数。
于是，n>2/ε^2+1
那么取N=2/ε^2+2
那么，当n>N时，
即有an^2<ε^2
从而an<ε
从而lim(n√n-1)=0
因而limn√n=1

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