如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．

Question

如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵E为BC的中点， ∴OE⊥BC于F． ∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°．（2分） 则OD=OE， ∴∠ODE=∠OED．（3分） ∵∠AGD=∠ADG， ∴∠ADG+∠ODE=90°． 即OD⊥AD， ∴AD是⊙O的切线．（5分） （2）∵AD=4，AB=2，AD 2 =AB?AC； ∴AC=8．（6分） ∵AD=AG， ∴BG=2，CG=4． ∵EG=2，EG?GD=BG?CG， ∴DG=4，（7分） ∴AD=DG=AG． ∴∠ADG=60°． 作OH⊥ED于H，则∠EOH=60°， 在Rt△OEH中，EH= 1 2 （EG+GD）=3． ∴OE= EH sin60° = 2 3 ． 即⊙O的半径为 2 3 ．（8分）