如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD

Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF= ，求⊙O的半径r．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可； （2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程 ，求出即可． 试题解析: (1)证明：连结OA、OD， ∵D为下半圆BE的中点， ∴∠BOD=∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=FC，OA=OD， ∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D， ∵∠CFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC， ∵OA为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r， 又∵在Rt△DOF中，OD 2 +OF 2 =DF 2 , ∴ ， 解得， ， ， 当 时，OF= （符合题意）， 当 时，OF= （不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径r为6. 考点: 切线的判定.