急急急!!高二数学 立体几何

Question

已知一个长方体共一顶点的三个面面积分别是根号2,根号3,根号6,这个长方体的对角线是______;若这三个面面积分别为3,5,15,则体积为_______

答案和大概过程,谢谢

Answer 1

解：（1）设 这一点的三边分别为A,B,C
即AB=根号2 AC=根号3 BC=根号6
所以AB*AC=根号2*根号3=根号6=BC
即A的平方*BC=BC 三边必须为整数
所以A=1
则B=根号2 C=根号3
所以对角线为（A平方+B平方+C平方）再开方=根号6
（2）同理，如上所述，则三边分别为1，3，5，
所以体积为1*3*5=15

Answer 2

设长方体的3个边长为a、b、c，则a^2+b^2=4,b^2+c^2=9,a^2+c^2=36,所以
a^2+b^2+c^2=49, 则根号a^2+b^2+c^2=7，对角线为7.

ab=3,bc=5,ac=15, 所以abc^2=3*5*15=225
所以abc=15
所以体积为15