设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f′（x）=ef（x），f（2）=1，则f?（2）=______

Question

设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f′（x）=ef（x），f（2）=1，则f?（2）=______．

Answer 1

∵f'（x）=e^f（x），
∴f″（x）=[e^f（x）]′=e^f（x）?f'（x）=e^f（x）?e^f（x）=e^2f（x）
从而f′′′（x）=[f″（x）]′=[e^2f（x）]′=e^2f（x）?[2f（x）]′=e^2f（x）?2f′（x）=2e^2f（x）?e^f（x）=2e^3f（x）
又f（2）=1
故f′′′（2）=2e³