如何求随机变量的数学期望和方差？

Question

如题所述

Answer 1

数学期望E(X)和方差D(X)是概率论和数理统计中的两个重要概念，用于描述随机变量的数字特征。

数学期望E(X)的求法：

数学期望E(X)反映了随机变量X取值的平均水平。对于离散型随机变量，数学期望E(X)等于X的所有可能取值与其对应的概率的乘积之和。对于连续型随机变量，数学期望E(X)则是X的概率密度函数与X的乘积在整个实数范围内的积分。

公式表示为：

* 离散型：\(E(X) = \sum x_i p_i\)，其中\(x_i\)是X的可能取值，\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率。

* 连续型：\(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx\)，其中\(f(x)\)是X的概率密度函数。

方差D(X)的求法：

方差D(X)描述了随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。方差越大，说明X的取值越分散；方差越小，说明X的取值越集中。

方差的计算公式为：

* 离散型：\(D(X) = \sum [x_i - E(X)]^2 p_i\)，其中\(x_i\)是X的可能取值，\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率，\(E(X)\)是X的数学期望。

* 连续型：\(D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x) dx\)，其中\(f(x)\)是X的概率密度函数，\(E(X)\)是X的数学期望。

举例说明：

假设有一个离散型随机变量X，它有三个可能的取值：1、2、3，对应的概率分别为0.2、0.5、0.3。

* 首先计算数学期望E(X)：\(E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1\)。

* 然后计算方差D(X)：\(D(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3 = 0.243\)。

这个例子说明，随机变量X的平均取值是2.1，而其取值的分散程度（方差）为0.243。详情