[a,b]×[c,d]表示x=a，x=b，y=c，y=d围成的矩形区域，f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，表示f(x,y)在上述矩形区域上连续。
例题：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，证明：至少存在一点ξ∈(0,1)使得f(ξ)=1-ξ。
解题思路：零点定理证明函数值为0，所以本题目需要构造函数F(x)=f(x)-1+x，区间为[0,1]，找出零点定理的条件应用零点定理来证明。
证明：令函数F(x)=f(x)-1+x在区间[0,1]上连续，
且F(0)=f(0)-1+0=-1<0；F(1)=f(1)-1+1=1>0
所以由零点定理知至少存在一点ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。
扩展资料
定理一：在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二：连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三：连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
参考资料来源：百度百科-连续函数
表示x=a，x=b，y=c，y=d围成的矩形区域，f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续。
表示f(x,y)在上述矩形区域上连续。
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料：
法则：
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
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表示x=a，x=b，y=c，y=d围成的矩形区域，
f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续
表示f(x,y)在上述矩形区域上连续
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