直线方程两点式证明x1与x2、y1与y2可对换。

Question

直线方程两点式证明x1与x2、y1与y2可对换。确切地证明1式与2式等效。

Answer 1

首先你要知道两点式是怎么来的,你只要知道这一点你的问题自然就有答案了.

设不与坐标轴平行的直线上有A,B两点,坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2),P(x,y)是直线AB上任意一点.
根据共线向量定理,存在唯一实数λ,使AP→=λAB→(显然λ=0时P和A重合,λ=1时P和B重合)
∴x-x1=λ(x2-x1)

y-y1=λ(y2-y1)
当λ≠0时,两等式相除,得(x-x1)/(y-y1)=(x2-x1)/(y2-y1),即(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)

λ=0时x=x1,y=y1,两点式依然成立,∴直线方程的两点式为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)
推导过程中你注意到x-x1和y-y1是怎么来的么?是AP→的坐标.所以如果我不用AP→,改用BP→,不就变成x-x2和y-y2了?此时共线向量定理依然成立,所有推导过程都不变,那你觉得这两个式子是否等价?

Answer 2

解如图。