函数f(x)在点x0处连续，为什么不一定可导？

Question

如题所述

Answer 1

虽然函数f(x)在点x0处连续，但它不一定可导。这是因为连续性只是确保函数在该点的极限存在，并且该极限等于该点的函数值。但是，可导性需要更严格的条件，即函数在该点的导数存在且有限。
如果f(x)在x0处不可导，那么它在该点的导数不存在或者为无穷大。导数不存在的一种情况是函数在该点存在垂直于x轴的切线，也就是说，左右导数不相等。而左右导数不相等可能是因为函数在该点存在尖点、角点或断点等特殊情况。
因此，连续性只是可导性的一个必要条件，但不是充分条件。也就是说，函数在某个点处连续并不能保证它在该点处可导。

Answer 2

解答：

f(x)=x*arcsinx+根号（1-x^2）

f'(x)=arcsinx+x/根号（1-x^2）+1/2根号（1-x^2）* (1-x²)'

=arcsinx+x/根号（1-x^2）-x/根号（1-x^2）

=arcsinx

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。