设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=x+y,0<x<1,0<y<1;0,其他。 求:Z=X+Y的概率密度。

Question

如题所述

Answer 1

f(z) = ∫(-∞，+∞)f(x,z-x)dx
所以，要求积分，先要求出积分上下限。
根据题目条件，可以求出，0<x<1,0<z-x<1，进而求出积分区域为0<x<1,x<z<x+1，画出区域的图像，可以发现积分区域要分为两块，分别是0<z<1时，x在(0,z)上积分；1<z<2时，x在(z-1,1)上积分。
故f(z)=∫(0,z)zdx = z�0�5
f(z)=∫(z-1,1)zdx=2z-z�0�5
所以，f(z) = z�0�5， 0<z<1；
2z-z�0�5， 1<z<2；
0， 其它。