用可逆性变换将二次型化为标准形 初等变换可以同时进行列变换和行变换吗？ 所求得矩阵是不是唯一的？

Question

用可逆性变换将二次型化为标准形
初等变换可以同时进行列变换和行变换吗？
所求得矩阵是不是唯一的？
能帮忙看看这个题吗？有没做错

Answer 1

这样做是不行的哦~因为，当你把A和E写成一个在上边一个在下边这种形式时，行变换只对A进行了，没有对E进行，所以，最后E变成的矩阵不是A的逆矩阵。

------------------详细解释——————

每一个初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，每一个初等列变换相当于右乘一个初等矩阵。所以这种同时进行 初等列变换的方法得到逆矩阵的原理是这样的：

A矩阵： A -初等列变换1 -> A*E1 -初等列变换2 -> A*E1*E2 =E （单位矩阵）

E矩阵：E -初等列变换1 -> E*E1 -初等列变换2 -> E*E1*E2 =E1*E2，我们记结果为B

所以下面E变换后的结果实际上是满足 AB=E，也就是B是A的逆；

但是如果A进行了行变换，E没有进行行变换，E就少进行了一步，这样结果就不是A的逆了 （因为这时候AB=E就不对了 ）

即使同时对A，E进行了行变换和列变换，这个结果也是不对的。

例如， 对A变换之后 F2*F1*A*E1*E2=E； 对E同样变换之后 结果是 B=F2*F1*E*E1*E2=F2*F1*E1*E2, 显然，也不会有 AB=E 或者 BA=E的结论，所以行列变换也不可以混合在一起进行！！！

追问

可是书上同时进行了

追答

不能行列变换都做，要求逆矩阵，如果一开始是行变换，那么一直都必须用行变换，不能变换的过程中行变换和列变换交替使用！

追问

看

追答

我看错了，以为是求逆矩阵，才发现是要把二次型化为标准型，这个时候进行了列变换之后要同时进行相同的行变换，必须交替进行~抱歉，我弄错了~

二次型化为标准型，变换的矩阵不是唯一的，但标准型里面 +1 和 -1 的个数是相同的~

追问

什么叫做1 -1的个数一样

追答

正指数和负指数不变：

简单的说，假设你把 一个二次型化为：
z1^2+z2^2-z3^2
那么你也有可能把它化成 z1^2-z2^2+z3^2 或者 -z1^2+z2^2+z3^2。 因为式子中 系数是+1的个数都是2，系数是-1的个数都是1；

但是，你不能把这个二次型化成 z1^2+z2^2+z3^2 或者 z1^2-z2^2-z3^2 或者 -z1^2-z2^2-z3^2

因为正指数和负指数变了……

追问

哦哦 可是求逆矩阵总是求不出…答案老对不上

追答

“可逆线性变换”的答案不唯一，对不上也没有关系，只有变换后的二次型标准型的正负指数对上就可以了

追问

系数如果对不上呢

追答

系数对不上就是错了……系数是原来矩阵的特征值，算对了是不会对不上的……