æ±
å¾®åæ¹ç¨ y''+y'-2y=(2x+1)(e^x)-2 çé解
解ï¼
é½æ¬¡æ¹ç¨y''+y'-2y=0ç
ç¹å¾æ¹ç¨ r²+r-2=(r+2)(r-1)=0çæ ¹r₁=1ï¼r₂=-2ï¼å æ¤é½æ¬¡æ¹ç¨ç
é解为ï¼y=C₁e^x+C₂e^(-2x);
设 y''+y'-2y=(2x+1)e^x...........â çç¹è§£ä¸ºï¼y₁*=(ax²+bx)e^xï¼
åy₁*'=(2ax+b)e^x+(ax²+bx)e^x=[ax²+(2a+b)x+b]e^x;
y₁*''=(2ax+2a+b)e^x+[ax²+(2a+b)x+b]e^x=[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e^x;
代å
¥â å¼å¹¶æ¶å»e^xå¾ï¼[ax²+(4a+b)x+2a+2b]+[ax²+(2a+b)x+b]-2(ax²+bx)
=6ax+2a+3b=2x+1ï¼ç±å¯¹åºé¡¹ç³»æ°ç¸çå¾ï¼6a=2........â¡; 2a+3b=1........â ï¼
â â¡èç«è§£å¾ï¼a=1/3ï¼b=(1-2a)/3=(1-2/3)/3=1/9ï¼æ
ç¹è§£y₁*=[(1/3)x²+(1/9)x]e^x;
y''+y'-2y=-2çç¹è§£ï¼y₂*=1ï¼
æ
åæ¹ç¨çé解为ï¼y=C₁e^x+C₂e^(-2x)+[(1/3)x²+(1/9)x]e^x+1