线性代数矩阵的幂计算方法

Question

就比如简单的矩阵 -1 1 1 -1来说，求这个矩阵A^6,这种题怎么求，能随便初等变换吗？ 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 如果更复杂一点点，矩阵B=3 0 0 0，求B的n次方这种题呢？ 0 3 0 0 0 0 3 1 0 0 4 3

Answer 1

一般有以下几种方法
1.
计算A^2,A^3
找规律,
然后用归纳法证明
2.
若r(A)=1,
则A=αβ^T,
A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注:
β^Tα
=α^Tβ
=
tr(αβ^T)
3.
分拆法:
A=B+C,
BC=CB,
用二项式公式展开
适用于
B^n
易计算,
C的低次幂为零矩阵:
C^2
或
C^3
=
0.
4.
用对角化
A=P^-1diagP
A^n
=
P^-1diag^nP
比如第一题适合用第2种方法,
A=(-1,1,1,-1)^T
(1,-1,-1,1)
第二题适合用第4种方法,
这要学过特征值特征向量后才行