空集与集合的关系

Question

如题所述

Answer 1

空集与集合的关系：空集是任何集合的一个子集,空集是任何非空集合的一个真子集。

空集的概念：

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。

1、空集的表示方法：

空集用符号Ø或者{}表示。注意：{Ø}是有一个Ø元素的集合，而不是空集。在LaTeX中空集表示代码 emptyset。0是一个数，不是集合。{0}是一个集合，集合只有0这个元素。Ø是一个集合，但是不含任何元素。{Ø}是一个非空集合，集合只有空集这个元素。

2、空集的性质：

对任意集合A，空集是A的子集：∀A：Ø⊆A；对任意集合A，空集和A的并集为A：∀A：A∪Ø=A；对任意非空集合A，空集是A的真子集：∀A,若A≠Ø，则Ø真包含于A。对任意集合A，空集和A的交集为空集：∀A，A∩Ø=Ø；对任意集合A，空集和A的笛卡尔积为空集：∀A，A×Ø=Ø。

空集的唯一子集是空集本身：∀A，若A⊆Ø⊆A，则A=Ø；∀A，若A=Ø，则A⊆Ø⊆A。空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的：|Ø|=0；对于全集，空集的补集为全集：CUØ=U。集合论中，若两个集合有相同的元素，则它们相等。那么，所有的空集都是相等的，即空集是唯一的。

考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，因为所有的有限集合是紧致的，所以空集是紧致集合。