抛物线y^2=-x与直线l相交于A,B两点,且OA垂直于OB,求证直线1过定点

Question

如题所述

Answer 1

抛物线y²=-x与直线l相交于A,B两点,且OA垂直于OB,求证直线1过定点
设直线L的方程为y=kx+b,代入抛物线方程得(kx+b)²=-x,展开得k²x²+(2kb+1)x+b²=0；
L与抛物线有两个交点,故其判别式Δ=(2kb+1)²-4k²b²=4kb+1>0,即有kb>-1/4,且k≠0,b≠0.
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则：
x₁+x₂=-(2kb+1)/k²
x₁x₂=b²/k²
y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²=b²-b(2kb+1)/k+b²=-b/k
由于OA⊥OB,故向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=b²/k²-b/k=(b²-kb)/k²=b(b-k)/k²=0
∵k≠0,b≠0,∴必有b-k=0,即k=b；故L的方程可改写为y=bx+b=b(x+1)；故L必过定点(-1,0)
与b（b≠0）的大小无关.