椭圆两个焦点在y轴上吗

Question

如题所述

Answer 1

当椭圆的两个焦点在 y 轴上时，意味着椭圆的长轴平行于 x 轴，而焦点位于 y 轴上。我们可以用代数方式推导出这种情况下椭圆的方程。

设椭圆的长轴为 2a，焦点的纵坐标为 c。由于焦点位于 y 轴上，所以焦点的横坐标为 0。

椭圆的标准方程为：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

由于焦点在 y 轴上，所以椭圆的离心率 e 为：

\[ e = \frac{c}{a} \]

由焦点的位置可知，焦点的坐标为 (0, ±c)。

椭圆的焦距 f 与长轴和离心率的关系为：

\[ f = a \cdot e \]

由于焦点在 y 轴上，所以焦距 f 等于 2c。代入上式得：

\[ 2c = a \cdot e \]

\[ 2c = a \cdot \frac{c}{a} \]

\[ 2c = c \]

由上式可知，焦点纵坐标 c 不为 0。

然后我们可以解得 c = ±1。由于椭圆的焦点位于 y 轴上，我们取 c = 1。

最终椭圆的标准方程为：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{1} = 1 \]

这就是椭圆的方程，其中长轴平行于 x 轴，焦点在 y 轴上，中心位于原点 (0, 0)。