四点共圆性质

Question

如题所述

Answer 1

四点共圆有三个性质：

1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

2、圆内接四边形的对角互补；

3、圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质均可以根据圆周角等于它夹的弧所对圆心角的度数的一半进行证明。

判定定理：

方法1：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2：

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

四点共圆的判定方法:

1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。

2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。

3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所来的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、若线段AB和CD相交于点P，且PAXPB=PCXPD，则A、B、C、D四点共圆。

6、若线段AB和CD延长后相交于点P，且PAXPB=PCXPD，则A、B、C、D四点共圆。

7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。