怎么证明n次的根号下n的极限等于1？

Question

请把答案写详细一点

Answer 1

先取对数ln，证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0

lim( ln( n^(1/n) ) )  = lim( [ln(n)] / n ) = lim ( [1/n] / 1 ) 分子分母同时取导数 = lim (1/n) = 0  所以：

lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1、夹逼定理：

（1）当  (这是  的去心邻域，有个符号打不出）时，有  成立；

（2）  ，那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。

2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。

二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

扩展资料：

从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式  成立”意味着：所有下标大于N的  都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

换句话说，如果存在某  ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

注意几何意义中：

1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；

2、所有其他的点  （无限个）都落在该邻域之内。

这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

先取对数ln，证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0
lim( ln( n^(1/n) ) )
= lim( [ln(n)] / n )
= lim ( [1/n] / 1 ) …………这里运用了洛必达法则，分子分母同时取导数
= lim (1/n) = 0
所以：
lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1本回答被提问者采纳