证：先证f（ax+b）的周期。
∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期。
假设存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）
∴T’是f（x）的周期，但 T’<T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。
∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T*/ a。
1.型如f(x+a)=f(x+b)（a≠b）
分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]
所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期。
若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]
所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。
2.型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）
分析: 条件与定义相比多了一个负号，故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换。
得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)
所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。
3.型如f(x)=1/ f(x+a) （a≠0）
分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式。将原条件等式中的x用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)
所以f(x)是周期函数，2a是其一个周期。
从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期。
扩展资料：
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
周期函数的性质 共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
参考资料：百度百科——周期函数