已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率e= ,a 2 与b 2 的等差中项为 .(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E

Question

已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率e= ,a 2 与b 2 的等差中项为 .(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.

Answer 1

(1) + =1   (2) (- , )

(1)由题意得 解得: .即椭圆E的方程为 + =1. (2)设A,B的坐标分别为(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ). 因线段AB的垂直平分线与x轴相交, 故AB不平行于y轴,即x 1 ≠x 2 . 又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|, 即(x 1 -t) 2 + =(x 2 -t) 2 + , ∴t= + 　① ∵A,B在椭圆上,∴ =4- , =4- . 将上式代入①,得t= . 又∵-3≤x 1 ≤3,-3≤x 2 ≤3,且x 1 ≠x 2 , ∴-6<x 1 +x 2 <6,则- <t< , 即实数t的取值范围是(- , ).