正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交吗

Question

如题所述

Answer 1

是的。正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.
约定：复数λ的共轭复数记为λ′。
矩阵（包括向量）A的共轭转置矩阵（向量）记为A*
A是正交矩阵，A*＝A^（-1）,
设λ1,λ2是A的两个不同特征值，则λ1λ2′≠1
[λ2′＝1/λ2.如果λ1λ2′＝1，则λ1＝λ2]
λ1X1＝AX.
λ2X2＝AX2.λ2′X2*＝X2*A*
λ1λ2′X2*X1＝X2*A*AX1＝X2*X1.
（λ1λ2′-1）X2*X1＝0
λ1λ2′≠1,
∴X2*X1＝0,X2与X1正交.

Answer 2

不对
只能保证线性无关
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交
不同特征值的特征向量是线性无关,
但将其正交化后就无意义了,
因为正交化后它就不是特征向量了