关于反函数题目的做题方法:确定原函数的值域。由原函数的表达式,求“x关于y的表达式”。交换x和y,附上定义域。
设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的。
相对于反函数y=f-1(x)来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图象关于直线y=x对称。这是因为,如果设(a,b)是y=f(x)的图象上任意一点,即b=f(a)。
根据反函数的定义,有a=f-1(b),即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图象上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称,由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。