已知：圆0：x^2+y^2=1,和点P（-2,0）,过点P的直线l交圆O与A,B(1)求：△OAB面积最大时直线l的方程;

Question

（2）平面上是否存在异于点P的定点Q，使得圆O上任意一点M,满足MP/MQ为常数，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）k不存在，x=-2,x+2=0

d=/0+2//(1^2+0^2)^1/2=2>1=r
d>r,直线与圆外离，直线与圆没有交点，与题干直线与圆有两个交点矛盾，不符合题意，（舍）
2.k存在，设y-0=k（x+2)
y=k(x+2)
kx-y+2k=0
直线l与圆O有两个交点，l与圆O相交
dol<r,
/2k//(k^2+1)^1/2<1
k^2<1/3
-3^1/2/3<k<3^1/2/3,
k=0,直线与圆交于A(-1,0),B（1,0），两点，A,B,O(0,0)都位于x轴上，A,B,O三点共线，三点形成的图形是以A,B为端点，O为中点的线段，不能形成三角形，与题意不符，所以k/=0
所以k=0(舍），k/=0
-3^1/2/3<k<0u0<k<3^1/2/3
过B作BC垂直x轴于C,过A作AD垂直x轴于D
设l与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)
y=k(x+2)(1)
x^2+y^2=1(2)
把（1）代入(2) x^2+k^2(x+2)^2=1
(1+k^2)x^2+4k^2x+4k^2-1=0
x1+x2=-4k^2/(1+k^2)
x1x2=(4k^2-1)/(1+k^2)
S=S三角形POB-S三角形POA
=1/2POhPO-1/2POhPO
=/k/(/x2+2/-/x1+2/)
因为A,B是直线l与圆o的交点，所以A,B既在直线l上，又在圆O上，
在圆O上，-1<=x<=1,
-1<=x1<=1,-1<=x2<=1
-1+2<=x1+2<=1+2,-1+2<=x2+2<=1+2
1<=x1+2,x2+2<=3,
x1+2,x2+2:[1,3]正包含于（0，+无穷），
x1+2,x2+2属于（0，+无穷）
=/k/(x2+2-x1-2)=/k/(x2-x1)
根据图像，B在A的右侧，x2>x1
x2-x1>0
S三角形=/k/x2(1-3k^2)^1/2/(1+k^2)
S^2=k^2x4(1-3k^2)/(1+k^2)^2
S=/S/=(s^2)^1/2,
求S的最大值即（S^2)^1/2的最大值，
x^1/2在（0，+无穷）单调递增，
函数值取得最大值对应的自变量S^2取到最大值
所以S取到最大值即S^2取到最大值
S^2=4k^2(1-3k^2)/(1+k^2)^2
令1+k^2=t
S^2=4x(-3+7/t-4/t^2)
令1/t=a
S^2=-16(a-7/8)^2+1/4
k^2:(0,1/3]
k^2+1:(1,4/3]
t:（1,4/3]
3/4<=1/t<1
3/4<=a<1,
a=7/8:(3/4,1]
S^2max=1/4
Smax=1/2
a=7/8,1/t=7/8
t=8/7
k^2=1/7,k=+-7^1/2/7
l:y=+-7^1/2/7(x+2)
(2)假设存在点Q,设Q(x0,y0)
Q与P点相同，x0=-2且y0=0,Q与P点不同，
x0/=-2ory0/=0
MP/MQ=C>0(C是正常数）
因为MP>0,MQ>0
假设MP=5,MP/MQ=5/MQ,
5/MO是关于MO的反比例函数，定义域MO>0,
k=5>0,在一，三象限，定义域MO>0,在第一象限，在（0，+无穷）上单调递减，
从极限角度求值域，当MO趋向于0+时，5/MO趋向于5x1/MO=5x+无穷=+无穷，上级不存在
当MO趋向于正无穷时，5/MO=5x1/MO=5x0+=0+，>0趋向于0，下级是0

所以（0，+无穷）上的值域：（0，+无穷）
对于分子取5时候C的范围是（0，+无穷），分子可以取遍所有的正实数，5属于(0,+无穷），（0，+无穷）包含5，在一个区间中的子区间的值域为（0，+无穷），那么在这个区间的值域肯定比（0，+无穷）大，最少是（0，+无穷），那么C的范围是（0，+无穷）
P(-2,0),M（x1,y1),Q(x0,y0)
(MP/MQ)^2=C^2
MP^2/MQ^2=C^2
[(x1+2)^2+y1^2]/[(x1-x0)^2+(y1-y0)^2]=C^2
x1(4+2c^2x0)+2c^2y0y1+5-c^2-c^2x0^2-c^2y0^2=0
-1<=x1<=1,-1<=y1<=1
对于在[-1,1]中任意的x1,y1,该等式恒成立，
那么4+2c^2x0=0(1)
2c^2y0=0(2)
5-c^2-c^2x0^2-c^2y0^2=0
x0=-1/2属于[-1,1],x0=-2不属于[-1,1](舍）
y0=0,C=2，MP/MQ=2
Q（-1/2,0),P(-2,0)
xQ=-1/2/=-2=xP
所以Q点异于P点，符合题意，所以该Q为（-1/2,0)