自学大专高数教材中的数列极限四则运算的证明例题看不懂?请高手指教!下面是原例题。例题中怎么突然冒出个ε/2M来,是怎么推出来的?自学很痛苦,经常碰到解决不了的问题。 谢谢高手的讲解!
数列极限的四则运算证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An•Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
(n趋于+∞的符号就先省略了。)
证明法则3:lim(An•Bn)=AB (其他的留给读者自己证明)
要证明An•Bn收敛于AB,就是要指出对于任意给定的ε>0,必有正整数N存在,使n>N时,不等式|An•Bn-AB|<ε成立,但
An•Bn-AB=(An•Bn-A• Bn)+(A •Bn- AB),
故有| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B| ①
由于Bn收敛于B,故必有界,即存在一个与n无关的正数M,
使 |Bn|<M (n=1,2,3…)成立。
又,由于当n→∞时,An→A, Bn→B,所以对于任意给定的ε>0,无论怎样小,必有正整数N1和N2存在,使n>N1时,|An-A|<ε/2M成立:使n>N2时,|Bn-B|<ε/2|A|成立。取N1和N2中大的一个作为N,记作N=max(N1,N2),那末当n>N时,不等式
|An-A|<ε/2M ②
|Bn-B|<ε/2|A| ③
同时成立。
由于不等式①②③,当n>N时,我们有
| An•Bn-AB |<ε/2+ε/2=ε
这就是说,An•Bn的极限存在,且等于AB。
实在是看不懂这句:“使n>N1时,|An-A|<ε/2M成立:使n>N2时,|Bn-B|<ε/2|A|成立。”怎么突然冒出个ε/2M来,不应该是|An-A|<ε吗?