分段函数定积分问题

Question

f(X)={ sinX (0<=X<=π/2), aX+2 (π/2<X<=π)
则平面区域 {(X,y) 0<=X<=π, 0<=y<=f(X)} 的面积是？

Answer 1

S=∫sinx dx(0,π/2)+∫(aX+2)dx(π/2,π)
=-cosx|(π/2,0)+(0.5ax^2+2x)|（π,π/2）
因为在x=0.5π时连续 所以sin0.5π=aπ/2 +2
因为a*π/2 +2 =sin(π/2)=1-->a=-2/π
S=-(cosπ/2-cos0)+0.5a(π^2-(π/2)^2）+2（π-π/2）
S=1+0.5*4/π^2*3*π^2/4+π
S=1+1.5+π=2.5+π

Answer 2

首先求0<=X<=π段，则f(X)=sinX，面积为对sinX在0<=X<=π/2内的积分为1
再求π/2<X<=π段，则f(X)=aX+2，面积为一个梯形
又因为要求的是面积，隐含条件是在X=π/2处连续，因为如果不连续的话求面积是没有意义的，所以求得a=-1
综合上述面积就可以求得了

Answer 3

∫sinx dx(0,π/2)+∫(aX+2)dx(π/2,π)=1+π+3/8*π² 其中sinX积分后会变成-cosx。然后代入计算就行了

Answer 4

分别对两段求定积分

对sinx这一段时，面积为-cosπ/2+cos0=1……S1

对aX+2这一段，显然要取位于x轴上方的那部分~
1.若a>=0,则，S2=~自己算，表达式太复杂，不好写~
2.若a<0;
2.1,如果，f（pi）>=0的话，S2表达式同1
2.2，如果f（pi）小于0，则求出零点，再求面积

就是这样，希望对你有帮助~