高数微积分方程的应用，求表达式

Question

高数微积分方程的应用，求表达式在某一地区推销一种新产品，时刻t的销量为Q(t)，该产品的最大需求量为N，且产品的销售速度于Q(t)及潜在的销售量N——Q(t)之积成正比，求Q(t)的表达式

Answer 1

销售速度=dQ（t）/dt=Q'
Q'=kQ(N-Q)=k(NQ-Q²）
[1/Q(N-Q)]dQ=kdt
(1/N)[1/Q+1/(N-Q)]dQ=kdt
[1/Q+1/(N-Q)]dQ=kNdt
两边积分
lnQ-ln（N-Q）=kNt+C；
ln【Q/（N-Q）】=kNt+C
Q/（N-Q）=e^C.e^kNt;
设常数D=e^C
Q/（N-Q）=De^kNt
分母+分子：
Q/N=De^kNt/（1+De^kNt）
Q=NDe^kNt/（1+De^kNt）
=N/（（1/D）e^-kNt+1)
=N/(Ee^-kNt+1)
E为常数。t-->+∞，Q-->N