（2013年四川泸州2分）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠

Question

（2013年四川泸州2分）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE= OA；（4）AD 2 +BE 2 =2OP?OC．其中正确的结论有【　　】 A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

Answer 1

C。

结论（1）错误。理由如下： 图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE： 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。 ∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。 在△AOD与△COE中，∵ ，∴△AOD≌△COE（ASA）。 同理可证：△COD≌△BOE。 结论（2）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴S △ AOD =S △ COE 。 ∴S 四边形CDOE =S △ COD +S △ COE =S △ COD +S △ AOD =S △ AOC =S △ ABC ， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍。 结论（3）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴CE=AD。∴CD+CE=CD+AD=AC= OA。 结论（4）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。 ∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD 2 +CE 2 =DE 2 ，∴AD 2 +BE 2 =DE 2 。 ∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。 又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形。∴DE 2 =2OE 2 ，∠DEO=45°。 ∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE。∴ ，即OP?OC=OE 2 。 ∴DE 2 =2OE 2 =2OP?OC。∴AD 2 +BE 2 =2OP?OC。 综上所述，正确的结论有3个。故选C。