被积函数是开口向下的椭圆抛物面,它与xoy面的交线是椭圆: 4x^2+y^2=4 即 x^2+y^2/2^2=1。
如上图。易知 z=4-4x^2-y^2,当 x^2+y^2/2^2<1时,z>0;当 x^2+y^2/2^2=1时,z=0;当 x^2+y^2/2^2>1时,z<0。二重积分的几何意义即是曲顶柱体的有向体积。当积分区域位于x^2+y^2/2^2=1内部时,因z>0, 积分大于0,区域面积越大,体积就越大,当区域边界等于x^2+y^2/2^2=1时,体积最大,意味着二重积分的值最大;当区域边界超出x^2+y^2/2^2=1时,超出部分的z<0, 从而那部分的体积也小于0,体积的总和反而缩小,意味着二重积分的值缩小。
所以,使二重积分的值最大的积分区域是:x^2+y^2/2^2≤1。
为什么呀
追答因为被积函数嘛,出了这块区域,函数值小于0,在乘以小块面积,会使总的积分值越来越小嘛