幂级数的收敛半径和展开点什么关系？

Question

收敛域约束什么？比如收敛域为[1,1]的级数，的意思是，把展开点取在收敛域外就不能收敛于原函数，还在敛域外取x的值就不等于原函数的值f(x)?
如果展开点为x0(x0不等于0)，那么收敛域为[x0-R,x0+R]?

Answer 1

并没有直接关系，展开点可以人为选择，先确定展开点x0后进行展开，再根据展开级数的函数特点计算收敛域。
对于幂级数∑an(x-x0)^n，它的展开点即为x0,取x=xi, 若∑an(xi-x0)^n收敛，就称xi为幂级数∑an(x-x0)^n 的收敛点，否则称为发散点。此幂级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域。
所以收敛半径R不等于0且展开点为非奇点的幂级数，它的展开点属于它的收敛域，不会取到收敛域以外。若取x=xi（xi在收敛域外），则有∑an(xi-x0)^n发散。
“如果展开点为x0(x0不等于0)，那么收敛域为[x0-R,x0+R]?” 错。若一个函数在0点处幂级数展开时收敛域为[-R,R]，那么它在x0处幂级数展开，收敛域要根据幂级数的特性重新计算，不能直接为[x0-R,x0+R] .