第3个回答 2021-07-25
let
u=π-x
du=-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2 ] dx
=∫(π->0) { (π-u)sinu/[1+(cosu)^2 ] } (-du)
=∫(0->π) { (π-u)sinu/[1+(cosu)^2 ] } du
=∫(0->π) (π-x)sinx/[1+(cosx)^2 ] du
2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2 ] dx =π∫(0->π) sinx/[1+(cosx)^2 ] du
∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2 ] dx
=(1/2)π∫(0->π) sinx/[1+(cosx)^2 ] du
=-(1/2)π∫(0->π) dcosx/[1+(cosx)^2 ]
=-(1/2)π[ arctan(cosx)]|(0->π)
=-(1/2)π (-π/4-π/4)
=(1/4)π^2