菱形abcd中，角b=60度，e和f分别在bc和cd上，满足ae=ef，试证明：三角形aef为正三角形

Question

如题所述

Answer 1

证明：【此题运用了一下正弦定理】

在AB上截取BG=BE，连接EG，

∵∠B=60°，

∴△BEG为正三角形，

∴∠BGE=60°，∠AGE=120°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，

∴AB-BG=BC-BE，

即AG=EC，

在△AGE中，AG/AE=sin∠AEG/sin120°，

在△ECF中，EC/EF=sin∠EFC/sin120°，

∵AG/AE=EC/EF，

∴sin∠AEG=sin∠EFC，

∵∠AEG和∠EFC均为锐角，

∴∠AEG=∠EFC，

∴∠EFC+∠CEF=60°，

∴∠AEG+∠CEF=60°，

∵∠BEG=60°，

∴∠AEF=180°-∠BEG-（∠AEG+∠CEF）=60°，

∵AE=EF，

∴△AEF是正三角形.