首先，可导必然连续，连续不一定可导。
所以你对间断点的定义完全记错了。
可去间断点的定义是：极限存在，但极限不等于函数值，不一定是函数在该点无定义，可以有定义，但是定义的函数值不等于极限值即可。
跳跃间断点的定义：左右极限存在，但是不相等。
第二类间断点的定义：左右极限中，至少一个不存在（含极限
无穷大的情况）
以上定义中，说的都是极限而不是导数。是你不知道为什么把极限都改为了导数。
可去间断点的情况
例如这个函数
f（x）=x（x≠0）；1（x=0）
这个
分段函数，在x≠0的时候，f（x）=x；在x=0的时候x=1
那么在x=0点的极限就是lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x=0≠f（0）
所以极限存在，极限是0，但是不等于函数值f（0），f（0）是等于1的。所以就是可去间断点。
还有g（x）=x²/x，这个函数在x≠0的时候，g（x）=x，在x=0的时候，无定义
所以x=0的极限是lim（x→0）g（x）=lim（x→0）x=0
极限存在，等于0，但是g（0）无定义，所以是可去间断点。
左右极限都存在，但是不相等的情况
h（x）=x（x≤0）；x+1（x＞0
这个分段函数，
在x=0点在左极限lim（x→0-）h（x）=lim（x→0-）x=0
右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）（x+1）=1
左右极限都存在，但是不相等。所以是跳跃间断点。
左右极限不存在的情况
例如k（x）=1/x
在x=0点的左极限是-∞，右极限是+∞，而极限∞（含±∞）是极限不存在的情况
所以k（x）在x=0点处左右极限都不存在。