四元数是由
爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年创立出的数学概念。通常记为H，或。 从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个
四维空间，相对于复数为二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的
虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
性质
四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如：
；
；
。
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶
多项式能有多于 n 个不同的根。例如方程就有无数多个解。只要是符合的实数，那么就是一个解。
一个四元数的共轭值定义为：
而它的
绝对值则是非负实数，定义为：
注意，一般状况下不等于。
四元数的乘逆可以算得。
透过使用距离函数，四元数便可成为同胚于的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数和皆有。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。