正三棱锥是锥体中底面是正三角形,三个侧面是全等的
等腰三角形的三棱锥。正三棱锥不等同于
正四面体,正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。性质
1. 底面是等边三角形。
2. 侧面是三个全等的等腰三角形。
3. 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、
外心、内心)。
4. 常构造以下四个
直角三角形:
(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)
2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)
(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)
(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。
说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中,常常取上述直角三角形。其实质是,不仅使空间问题平面化,而且使平面问题三角化,还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中,利于解出。正四面体底面为正三角形,所以斜高线位于任意顶点与底边中点连线,又
三线合一,所以侧面重心位于高线距顶点2/3处,即可算出顶点与重心(球与侧面切点)的距离,又知正三棱锥边长,即可根据
勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出底面与球心的距离(即内切球半径)。