用两种方法证明|x+1/x|大于等于2

Question

如题所述

Answer 1

方法一：

因为(x+1/x)^2=x^2+(1/x)^2+2，

而x^2+(1/x)^2≥2*x*(1/x)=2，

那么(x+1/x)^2≥4，

那么两边同时开根号可得|x+1/x|≥2。

方法二：

设f(x)=|x+1/x|，

则f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数，即函数图象沿Y轴左右对称。

只看x>0的部分，则f(x)=x+1/x。

求导，f'(x)=1-1/x^2，

解f‘(x)=0，可得x=1。f(x)在x=1处取最小值，代入可得f(1)=2，得证。

函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

Answer 2

方法1：(x+1/x)^2=x^2+(1/x)^2+2,而x^2+(1/x)^2>=2(A方加B方大于等于2AB),故(x+1/x)^2>=4,两边开平方即得证

方法2：设f(x)=|x+1/x|,则f(x)=f(-x),即函数图象沿Y轴左右对称.只看x>0的部分,则f(x)=x+1/x.求导,f'(x)=1-1/x^2,解f‘(x)=0,可得x=1,由于f'(x)在x1时大于0,f(x)在x=1处取最小值,代入可得f(1)=2,得证本回答被提问者采纳