常系数非齐次线性微分方程的常数变易法，是否在解齐次线性微分方程的特解时用到了特征根法？或者说特征根

Question

常系数非齐次线性微分方程的常数变易法，是否在解齐次线性微分方程的特解时用到了特征根法？或者说特征根法到底是什么鬼，请勿贴百科上的东西，谢谢。

Answer 1

特征根法是解决常系数线性微分方程的常用方法。这是因为，对指数函数求导数时，结果是指数函数乘一个常数因子。例如: (e^(ax))'=a e^(ax).
因此，方程y'=ay的一个解就是y=C e^(ax).
特征方程是k=a.
假设特征方程是(k-a)(k-b)=0.
对应微分方程是y''-(a+b)y'+aby=0.
设z=y'-by,则
z'-az=0,
按照前面的讨论，可知z=C1 e^(az),
y'-by=C1 e^(az),
齐次解为y=C2 e^(bx).
通解为y=C2 e^(bx)+C3 e^(ax).
只要求出特征方程的根，就能得出方程解。
这就是特征根法的来历。