如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G，H分别为棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点，O为AC与

Question

如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G，H分别为棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点，O为AC与BD的交点．（1）求证：平面BDF ∥ 平面B 1 D 1 H；（2）求证：平面BDF⊥平面A 1 AO；（3）求证：EG⊥AC．

Answer 1

证明：（1）正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G，H分别为棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点，∴B 1 D 1 ∥ BD．
∵BD?平面BDF，而B 1 D 1 不在平面BDF 内，∴B 1 D 1 ∥ 平面BDF．
取DD 1 的中点N，则 AH ∥ D 1 N 且AH=D 1 N，故AHND 1 为平行四边形，∴HD 1 ∥ AN．
同理可证 BF ∥ AN，故HD 1 ∥ BF．
∵BF?平面BDF，而HD 1 不在平面BDF 内，∴HD 1 ∥ 平面BDF．
这样，在平面平面B 1 D 1 H 内有两条相交直线B 1 D 1 和HD 1 都和平面BDF平行，
∴平面BDF ∥ 平面B 1 D 1 H．
（2）∵O为AC与BD的交点，∴BD⊥AO．再由A 1 A⊥平面ABCD可得 A 1 A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A 1 AO中的两条相交直线AO和A 1 A，∴BD⊥平面A 1 AO．
而BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面A 1 AO．
（3）取CD的中点M，连接EM，GM，则EM是△CBD的中位线，∴EM ∥ BD，由AC⊥BD 可得 EM⊥AC．
由GM和棱A 1 A平行可得GM⊥平面ABCD，GM⊥AC．
这样，AC垂直于平面EGM中的两条相交直线EM、GM，∴AC⊥平面EGM，∴AC⊥EG．