解：设椭圆上焦点F₁(0，c)，下焦点F₂(0，-c)；c为半焦距，c>0。
椭圆上的动点M(x，y)；依椭圆定义有等式：
∣MF₁∣+∣MF₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a，a为长半轴之长，a>0。
√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]
两边平方得：x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²化简、移项，得4a√[x²(y+c)²]=4a²+4c
化小系数得：a√[x²+(y+c)²]=a²+cy
再平方得：a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²
a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²
令a²-c²=b²，得a²x²+b²y²=a²b²
再用a²b²除两边，即得焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：
y²/a²+x²/b²=1，其中a²-b²=c²；a>b.
其中a为长半轴之长，b为短半轴之长，c为半焦距。
扩展资料：
椭圆方程的几何性质
X，Y的范围
当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b
当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）
短轴顶点：（0，b），（0，-b）
焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）
短轴顶点：（b,0），（-b,0）
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)
计算方法
编辑
(（其中
分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或
（其中
分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
圆和椭圆之间的关系：
椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。
参考资料来源：百度百科--椭圆参数方程
解：设椭圆上焦点F₁(0，c)，下焦点F₂(0，-c)；c为半焦距，c>0.
椭圆上的动点M(x，y)；依椭圆定义有等式：
∣MF₁∣+∣MF₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a，a为长半轴之长，a>0.
√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]
两边平方得：x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²
化简、移项，得：4a√[x²+(y+c)²]=4a²+4cy
化小系数得：a√[x²+(y+c)²]=a²+cy
再平方得：a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²
a²(x²+y²+2cy+c²)=a^4+2a²cy+c²y²
a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²
令a²-c²=b²，得a²x²+b²y²=a²b²
再用a²b²除两边，即得焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：
y²/a²+x²/b²=1，其中a²-b²=c²；a>b.
其中a为长半轴之长，b为短半轴之长，c为半焦距。本回答被网友采纳
设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a。即对于椭圆上的任意点（x，y），有：
√((x-0)^2 + (y-c)^2) + √((x-0)^2 + (y+c)^2) = 2a
化简得：
√(x^2 + (y-c)^2) + √(x^2 + (y+c)^2) = 2a
将两个根号内的项分别平方，得：
x^2 + (y-c)^2 + 2√((x^2 + (y-c)^2)(x^2 + (y+c)^2)) + x^2 + (y+c)^2 = 4a^2
化简得：
2x^2 + 2y^2 + 2c^2 + 2√((x^2 + (y-c)^2)(x^2 + (y+c)^2)) = 4a^2
再次化简得：
x^2 + y^2 + c^2 + √((x^2 + (y-c)^2)(x^2 + (y+c)^2)) = 2a^2
由于椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，可以得到a^2 - b^2 = c^2。
代入上式，得：
x^2 + y^2 + (a^2 - b^2) + √((x^2 + (y-c)^2)(x^2 + (y+c)^2)) = 2a^2
化简得：
x^2 + y^2 + a^2 - b^2 + √((x^2 + (y-c)^2)(x^2 + (y+c)^2)) = 2a^2
继续化简，得到椭圆的标准方程：
(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
这就是椭圆的方程，当椭圆的两个焦点在y轴上时。本回答被网友采纳
椭圆方程推导，这道题你会么，看看老师是怎么说的
当椭圆的两个焦点在 y 轴上时，意味着椭圆的长轴平行于 x 轴，而焦点位于 y 轴上。我们可以用代数方式推导出这种情况下椭圆的方程。
设椭圆的长轴为 2a，焦点的纵坐标为 c。由于焦点位于 y 轴上，所以焦点的横坐标为 0。
椭圆的标准方程为：
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
由于焦点在 y 轴上，所以椭圆的离心率 e 为：
\[ e = \frac{c}{a} \]
由焦点的位置可知，焦点的坐标为 (0, ±c)。
椭圆的焦距 f 与长轴和离心率的关系为：
\[ f = a \cdot e \]
由于焦点在 y 轴上，所以焦距 f 等于 2c。代入上式得：
\[ 2c = a \cdot e \]
\[ 2c = a \cdot \frac{c}{a} \]
\[ 2c = c \]
由上式可知，焦点纵坐标 c 不为 0。
然后我们可以解得 c = ±1。由于椭圆的焦点位于 y 轴上，我们取 c = 1。
最终椭圆的标准方程为：
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{1} = 1 \]
这就是椭圆的方程，其中长轴平行于 x 轴，焦点在 y 轴上，中心位于原点 (0, 0)。