为什么用泰勒公式时要选2次？

Question

如题所述

Answer 1

这是泰勒公式的一个法则叫上下同阶原则。
x - ln(1+tanx) 用泰勒公式时， 选到 2 次， 则为 tanx-(tanx)^2/2， x - tanx+(tanx)^2/2 ~ x^2/2， 是 x 的 2 阶无穷小。
若只选到 1 次， 则为 tanx，因 x - tanx ~ -x^3/3 是 x 的 3 阶无穷小，漏到了x 的 2 阶无穷小。
若选到 3 次， 则为tanx-(tanx)^2/2+(tanx)^3/3， x - tanx+(tanx)^2/2 -(tanx)^3/3 ~ x^2/2 还是 x 的 2 阶无穷小。
幂次选择一般比式中 x 的幂次高选一次，若不能确定时，可稍高选，再将高阶无穷小去掉即得必须选的幂次。