∫cscxdx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/ [cos^2(x/2) * tan(x/2) ]d(x/2)
=∫sec^2(x/2)/tan(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d(tan(x/2))
=ln|tan(x/2)|+C
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
例如以下不定积分的计算。
根式换元法：
设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：
∫x√(x+2)dx
=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2∫t^2*(t^2-2)dt,
=2∫(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
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凑分法不定积分：
∫x√(2x^2+1)^3dx
=(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2
=(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2
=(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)
=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
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分部积分法计算不定积分：
∫x^4 (lnx)^2dx
=(1/5)∫(lnx)^2dx^a11，以下第一次使用分部积分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,
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以下第二次使用分部积分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c
=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c
=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.
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凑分及分部积分法
∫(10x^2+x+1)lnxdx
=∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对幂函数部分进行凑分，
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。
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不定积分概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
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其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
