泰勒公式展开ln成立区间为什么有定义域

如题所述

推荐答案 2015-08-15

是因为ln(1+x)这个级数来自於1/(1+x)的积分,而1/(1+x)的展开式中收敛半径为1,所以ln(1+x)的展开式收敛半径也为1
又因为对於端点1,级数成为1-1/2+1/3-1/4+......是收敛的,而端点-1时级数成为-1-1/2-1/3-...=-(1+1/2+1/3+...)发散
所以ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-......只在(-1,1]上成立

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第1个回答 2015-08-15

首先，要区别“泰勒公式”与“泰勒展开式”的区别。

事实上，只要函数f(x)在某一点a的某个邻域内有n+1阶连续导数，就可以写出它的泰勒公式。但谈到“泰勒展开式”何时成立，是说函数f(x)在什么条件下（也就是在x的哪个变化范围内）与它的泰勒公式相等，这个使得f(x)与其泰勒公式相等的x的变化区间就是所谓的“泰勒展开式成立区间”。
教材里“泰勒公式”一节里有一个重要的定理叫“泰勒定理”讲的就是这个问题。
f(x)的泰勒展开式成立区间必是它的定义域的子集（未必是真子集！）。本回答被提问者和网友采纳

第2个回答 2019-11-10

因为
ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-....
x=1时，右边数项级数=1-1/2+1/3-1/4+....
这个是交错级数，它是收敛的
所以
x=1时收敛
但
x=-1时，右边=-1-1/2-1/3-....
=-(1+1/2+1/3+....)
这个是发散的
所以
收敛域为（-1,1】

第3个回答 2015-08-15

ln真数大于0

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