概率论与数理统计三题求解答

Question

一、设离散型随机变量X的分布律为

X -1 0 2

P 0.2 0.5 0.3

求（1）X的分布函数

（2）P{-1<=X<=1}

（3）E（-3X+1）

二、设某种电器系统的电压X（以伏计）是一个随机变量，它的分布函数为

F（x）= x/（1+x） ，x>=0

= 0 , x<0

(1)求X的概率密度函数f（x)

(2)用分布函数求概率P{x<3}，P{-2<x<5}

三、随机变量X的概率密度为

f（x）= 0.2 ，-1<x<=0

= 0.2+1.2x , 0<x<=1

= 0 , 其它

求E（X），D（X）

Answer 1

第一题
当x<-1时，F(x)=0
当-1≤x<0时，F(x)=0.2
当0≤x<2时，F(x)=0.2+0.5=0.7
当2≤x时，F(x)=1

P{-1<=X<=1}=F(1)-F(-1)+P{X<=-1}=0.7-0.2+0.2=0.7

EX=-1*0.2+2*0.3+0*0.5=0.4
E（-3X+1）=-3EX+1=-1.2+1=-0.2

第二题
f(x)=[F(x)]'=1/(1+x)^2 x≥0
f(x)=0 x<0

P{x<3}=F(3)=3/4
P{-2<x<5}=P{0<x<5}=F(5)=5/6

第三题
EX=∫(-无穷,+无穷)xf(x)dx=∫(-1,0)0.2xdx+∫(0,1)(0.2x+1.2x^2)dx
=-0.1+0.1+0.4=0.4

EX^2=∫(-无穷,+无穷)x^2f(x)dx
=∫(-1,0)0.2x^2dx+∫(0,1)(0.2x^2+1.2x^3)dx
=-1/15+1/15+0.3=0.3

DX=EX^2-(EX)^2=0.3-0.4*0.4=0.14