函数可导和连续的关系

Question

如题所述

Answer 1

函数在一点处连续，并不意味着函数一定在该点处可导；但是如果函数在一点处可导，则一定在该点处连续。

即连续是可导的必要条件，可导是连续的充分条件。（可导 ⇒ 连续）。

连续定义：函数在一点 x0 处连续，是指该点的极限 limx→x0f(x) 等于该处的函数值 f(x0) 。

这句话表明：

1. x0 处有定义 f(x0) ；

2. x0 处有极限： limx→x0f(x) = limx→x0−f(x) = limx→x0+f(x) ；

3. limx→x0f(x) = f(x0) 。

可导定义：

lim x→x0f(x)−f(x0)x−x0 = limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx 存在；（当然 f(x) 在 x0 处必须有定义）。

拓展资料：

因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续；而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等，若为闭区间，则只能验证左端点是否有右导数，右端点是否有左导数，故函数在闭区间的端点处不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f（x)处不一定可导。