关于高中物理中两种汽车启动方式的速度时间函数

Question

高中物理中抽象出两种汽车启动方式，一种是一直以最大功率启动至最大速度，另一种是先以某恒定加速度加速至功率最大，再以最大功率加速至最大速度。（详细情况参见其它材料，但我想大家应给对此了解吧） 我想得出此两种启动方式对应的汽车的速度对时间的函数（即V=F(t)），希望能给出尽量详细的推导过程。 我对高等数学有一定了解，推导过程中可以用到高等数学知识 先谢谢帮忙

Answer 1

最大功率启动的情况。设阻力f是常数
F-f=ma
P-fv=Fv-fv=mvdv/dt
dt=mvdv/(P-fv)=(m/f)(V/(V-v)-1)dv
[V=P/f]
为方便，做如下变换
v/V-->v，ft/mV-->t
上式变为
-dt=vdv/(v-1)
-t+C1=v+ln|v-1|
|v-1|=Cexp(-t-v)
v=1(+或-)
Cexp(-t-v)
因为初始条件t=0,v=0,得到
(+或-)C=-1
所以
v=1-exp(-t-v)
从上式解出v是不可能的，但可以看出v的最大值是P/f，而牵引力就是f.
另一种
因为开始是恒定加速度，设为A。速度就是At。功率最大时有FAt=(mA+f)At=P。t=P/((mA+f)A)，这时速度v=P/(mA+f)
利用变换
v/V-->v，ft/mV-->t得到
恒定加速度时
v=ht
[h=mA/f]
功率最大时
t=1/(h(h+1))
v=1/(h+1)
然后和前一种情况一样
v=1(+或-)
Cexp(-t-v)
只是初始条件改为功率最大时的时间和速度。
(+或-)C=(v-1)exp(t+v)=-hexp(1/h)/(h+1)
v=1-hexp(1/h-t-v)/(h+1)