I=∫(secx)^3dx
=∫secxd(tanx)
=secxtanx-∫tanxd(secx)
=secxtanx-∫secx(tanx)^2dx
=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx
=secxtanx-I+ln|secx+tanx|
I=(1/2)×(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C
扩展资料
一、解决积分问题常用的方法：
换元积分法：
1、 
2、x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
3、当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
则
分部积分法：
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式： [3]
二、积分的分类：
1、不定积分（Indefinite integral）：
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
2、定积分 （definite integral）：
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
参考资料：百度百科——定积分
例如函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积
主要内容：
本文主要通过微积分定积分的知识，介绍二次函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积的主要计算步骤和过程。
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主要步骤：
※.先求出两函数的交点。
联立方程y1和y2，求出二者的交点。
7-5x^2=x^2-x-2
6x^2-x-9=0,由二次方程的求根公式得：
x1=(1-√217)/12，
x2= (1+√217)/12，
则x2-x1=√217/6，
并由韦达定理得：
x1+x2=1/6，
x1*x2=-3/2。
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※.定积分求面积。
S=∫[x1,x2](y1-y2)dx
=∫[x1,x2][7-5x^2-(x^2-x-2)]dx
=∫[x1,x2](7-5x^2-x^2+x+2)dx
=∫[x1,x2](-6x^2+x+9)dx
=(-2/1)x^3+(1/2)x^2+9x[x1,x2]
=(-2/1)(x2^3-x1^3)+(1/2)(x2^2-x1^2)+9(x2-x1)
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利用立方差和平方和因式分解，进一步化简得：
S=(-2/1)(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2)+(1/2)(x2-x1)(x2+x1)+9(x2-x1)
=(x2-x1){ (-2/1)[(x1+x2)^2-x1x2]+(1/2)*(1/6)+9}
=√217/6*{ (-2/1)[(1/6)^2+3/2]+(1/2)*1/6+9}
=√217/6*(36/217)
=6√217/217。