第1个回答 2020-02-24
：p是⊙o的弦ab的中点，过p点引⊙o的两弦cd、ef，连结de交ab于m，连结cf交ab于n。求证：mp=np。
【分析】设gh为过p的直径，ff’f，显然‘∈⊙o。又p∈gh，∴pf’=pf。∵pfpf‘，papb，∴∠fpn=∠f’pm，pf=pf‘。
又ff’⊥gh，an⊥gh，∴ff‘∥ab。∴∠f’pm+∠mdf‘=∠fpn+∠edf’
=∠eff‘+∠edf’=180°，∴p、m、d、f‘四点共圆。∴∠pf’m=∠pde=∠pfn。
∴△pfn≌△pf‘m，pn=pm。
【评注】一般结论为：已知半径为r的⊙o内一弦ab上的一点p，过p作两条相交弦cd、ef，连cf、ed交ab于m、n，已知op=r，p到ab中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角线之和为2即．其次考查面积为1的菱形，若两对角线长记为l1、l2，那么菱形面积s=l1·l2，知
l1+
l2≥2=2=，菱形周长：
l=4≥2=4。
由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．
【证明】设abcd为任意一个面积为1的凸四边形，其有关线段及角标如图．则
sabcd=
(eg+gf+fh+he)sinα
≤
(e+f)(g+h)≤，
∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．
∴a+b+c+d≥4，即周长不小于4．
综上所述，结论得证，